Historia de la campana de gauss

Historia de la campana de gauss

Historia de la curva de campana

En estadística, una distribución normal (también conocida como distribución de Gauss, Gauss o Laplace-Gauss) es un tipo de distribución de probabilidad continua para una variable aleatoria de valor real. La forma general de su función de densidad de probabilidad es

Las distribuciones normales son importantes en estadística y se utilizan a menudo en las ciencias naturales y sociales para representar variables aleatorias de valor real cuyas distribuciones no se conocen[1][2] Su importancia se debe en parte al teorema del límite central. Este teorema afirma que, bajo ciertas condiciones, la media de muchas muestras (observaciones) de una variable aleatoria con media y varianza finitas es en sí misma una variable aleatoria cuya distribución converge a una distribución normal a medida que aumenta el número de muestras. Por lo tanto, las cantidades físicas que se espera que sean la suma de muchos procesos independientes, como los errores de medición, suelen tener distribuciones que son casi normales[3].

Además, las distribuciones gaussianas tienen algunas propiedades únicas que son valiosas en los estudios analíticos. Por ejemplo, cualquier combinación lineal de una colección fija de desviaciones normales es una desviación normal. Muchos resultados y métodos, como la propagación de la incertidumbre y el ajuste de parámetros por mínimos cuadrados, pueden derivarse analíticamente de forma explícita cuando las variables relevantes están distribuidas normalmente.

Cómo descubrió Gauss la distribución normal

La distribución normal, también conocida como distribución de Gauss (llamada así por el matemático alemán Carl Gauss, que la describió por primera vez), es una distribución de probabilidad continua en la que los datos están más agrupados cerca de la media que los que están lejos de ella. Esta característica confiere a la distribución normal una forma de campana que es simétrica con respecto a la media. La distribución normal es uno de los tipos más comunes de patrones de distribución utilizados en estadística y en la vida real.

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Una distribución normal puede observarse analizando las puntuaciones de los alumnos en los exámenes de un curso determinado. Un gran número de estudiantes obtendrá la puntuación media (digamos 65 sobre 100), mientras que unos pocos obtendrán puntuaciones cercanas a los 50 u 80 y otros menos suspenderán el examen u obtendrán una puntuación perfecta. Si las puntuaciones de estos estudiantes se representaran en un gráfico, éste tendría la forma de una curva de campana.

En la figura anterior podemos observar que el peso medio de un recién nacido se acerca a los 3,5 kilos y muchos de ellos pesan entre 3 y 4 kilos. Pero a medida que nos alejamos de la media, encontramos que muy pocos bebés pesan 2 kilogramos o 5 kilogramos y menos pesan 1 kilogramo o 6 kilogramos. Se dice que esta distribución sigue la curva de campana o un patrón de distribución normal

Integral gaussiana

El Galton Board es una máquina de probabilidad de sobremesa de 7,5″ por 4,5″. Este pequeño y encantador dispositivo da vida al concepto estadístico de la distribución normal. Al girar el tablero Galton sobre su eje, se pone en movimiento un flujo de cuentas de acero que rebotan con igual probabilidad hacia la izquierda o la derecha a través de varias filas de clavijas. A medida que las cuentas se acumulan en los recipientes, se aproximan a la curva de campana, como se muestra en la línea amarilla de la parte delantera del tablero de Galton. Este Tablero de Galton práctico permite visualizar el orden incrustado en el caos de la aleatoriedad.

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El Tablero Galton demuestra conceptos matemáticos centenarios en un innovador dispositivo de sobremesa. Incorpora la ilustración de Sir Francis Galton (1822-1911) de la distribución binomial, que para un gran número de cuentas se aproxima a la distribución normal. También tiene superpuesto el Triángulo de Pascal (Blaise Pascal, 1623-1662), que es un triángulo de números que sigue la regla de sumar los dos números de arriba para obtener el número de abajo. El número de cada clavija representa el número de caminos diferentes que podría recorrer una cuenta desde la clavija superior hasta esa clavija. Los números de Fibonacci (Leonardo Fibonacci, 1175-1250), también se pueden encontrar como las sumas de diagonales específicas en el triángulo. El tablero de Galton está aprobado para actividades educativas STEM.

Función gaussiana

Una curva de campana es un tipo de distribución común para una variable, también conocida como distribución normal. El término «curva de campana» tiene su origen en el hecho de que el gráfico utilizado para representar una distribución normal consiste en una curva simétrica en forma de campana.

El punto más alto de la curva, o la cima de la campana, representa el suceso más probable de una serie de datos (su media, moda y mediana en este caso), mientras que el resto de sucesos posibles se distribuyen simétricamente alrededor de la media, creando una curva descendente a cada lado del pico. La anchura de la curva de campana se describe mediante su desviación estándar.

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El término «curva de campana» se utiliza para describir una representación gráfica de una distribución de probabilidad normal, cuyas desviaciones estándar subyacentes de la media crean la forma de campana curvada. La desviación estándar es una medida utilizada para cuantificar la variabilidad de la dispersión de los datos, en un conjunto de valores dados alrededor de la media. La media, a su vez, se refiere a la media de todos los puntos de datos del conjunto o secuencia de datos y se encontrará en el punto más alto de la curva de campana.

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